Πρόβλημα 1 για τη Γ Γυμνασίου:	PROBLEM 1
Το άθροισμα των ψηφίων διψήφιου αριθμού είναι 9, ενώ το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 41. Ποιος είναι ο αριθμός;	The sum of the digits of a two-digit number is 9. The sum of the squares of its digits is 41. What is this number?
ΛΥΣΗ Έστω χ το ψηφίο των μονάδων. Τότε το ψηφίο των δεκάδων θα είναι 9 – χ. Επειδή το άθροισμα των τετραγώνων των ψηφίων του είναι 41 θα έχουμε την εξίσωση: x^2+ (9-x)^2=41 x^2 + 81 - 18x + x^2 – 41=0 2x^2 - 18x + 40 = 0 a=2 b=-18 c=40 D=b^2- 4ac=(-18)^2- 4*2*40= 324 – 320 = = 4 > 0 χ=5 ή χ=4 Αν χ=5 τότε το ψηφίο των δεκάδων θα είναι 9-χ=9-5=4, ενώ αν χ=4 θα είναι 9-χ=9-4=5. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Άρα αν χ=5 ο αριθμός είναι ο 45 Και αν χ=4 ο αριθμός είναι ο 54	SOLUTION: Let x the digit of the units and 9-x the digit of the tens. Because the sum of the squares of its digits is 41 we have the equation: x^2+ (9-x)^2=41 x^2 + 81 - 18x + x^2 – 41=0 2x^2 - 18x + 40 = 0 a=2 b=-18 c=40 D=b^2- 4ac=(-18)^2- 4*2*40= 324 – 320 = = 4 > 0 x=-b±ÖD /2a= -(-18)±Ö4 / 2*2 = 18±2 / 4 = x=18+2 / 4=20/4=5 or x=18-2 / 4=16 / 4 = 4 ANSWER: So if x=5 the number is 45 and if x=4 the number is 54.

Πρόβλημα 2 για τη Γ Γυμνασίου:	PROBLEM 2
Σε έναν τριψήφιο αριθμό το άθροισμα των ψηφίων του είναι 15, το ψηφίο των μονάδων του είναι διπλάσιο από το ψηφίο των δεκάδων του , ενώ το άθροισμα των τετραγώνων των ψηφίων του είναι 89. Ποιος είναι ο αριθμός;	To be found a three-digit number if we Know: That the digit of the units is two times the digit of the tens, the sum of this number’s digits is 15 and the sum of the squares of its digits is 89.
ΛΥΣΗ: Έστω χ το ψηφίο των δεκάδων. Αφού το ψηφίο των μονάδων είναι διπλάσιο θα είναι 2χ και αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι 15 το ψηφίο των εκατοντάδων του θα είναι 15-χ-2χ=15-3χ. Επειδή το άθροισμα των τετραγώνων των ψηφίων του είναι 89 θα έχουμε την εξίσωση: (15-3x)^2 + (2x)^2 + x^2 = 89 225 - 90x + 9x^2 + 4x^2 + x^2 –89 = 0 14x^2 – 90x + 136 = 0 7x^2 – 45x + 68 = 0 Είναι α=7 β= -45 γ=68 Δ=β^2-4αγ= (-45)^2 –4*7*68 = 2025 – 1904 = 121 >0 άρα χ=4 ή χ=17/7 αλλά το χ είναι ψηφίο και πρέπει να είναι ακέραιος από 1 ως και 9. Επομένως δεκτή τιμή είναι μόνο η χ=4. Συνεπώς με χ=4 το ψηφίο των δεκάδων, προκύπτει 2χ=8 το ψηφίο των μονάδων και 15 – 4 – 8 = 3 το ψηφίο των εκατοντάδων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Επομένως ο τριψήφιος αριθμός είναι 348	SOLUTION: Let x the digit of the tens and the digit of the units 2x. Because the sum of the digits is 15 the digit of the hundreds is 15-x-2x = 15-3x. Because the sum of the squares of the number’s digits is 89 we have the equation: (15-3x)^2 + (2x)^2 + x^2 = 89 225 - 90x + 9x^2 + 4x^2 + x^2 –89 = 0 14x^2 – 90x + 136 = 0 7x^2 – 45x + 68 = 0 a=7 b= -45 c=68 D=b^2-4ac= (-45)^2 –4*7*68 = 2025 – 1904 = 121 >0 x= -b ±ÖD / 2a = -(-45) ± Ö121 / 2*7= 45 ± 11 /14 x=45 + 11 / 14 = 56/14=4 or x=45 – 11 /14 = 34/14 =17/7 but it is unacceptable because the solution should be a whole number. So x=4, the digit of the tens 4, the digit of the units is 2x=2*4=8 and the digit of the hundreds is 15-3x= 15-3*4=15-12=3 ANSWER: Consequently the three-digit number is 348

Και ένα τρίτο πρόβλημα με ηλικίες:	And now a third problem with ages:
Η Μαρία είναι κατά τρία έτη μεγαλύτερη από την αδελφή της την Ελένη. Ύστερα από 10 έτη το διπλάσιο του τετραγώνου της ηλικίας της Μαρίας και το τριπλάσιο του τετραγώνου της ηλικίας της Ελένης είναι ίσο με 1667. Τι ηλικίες θα έχουν οι δύο αδελφές ύστερα από είκοσι έτη;	Mary is three years older than her sister Helen. After 10 years twice the square of Mary’s age and tree-times the square of Helen’s age is equal to 1667. How old will the two sisters be after twenty years;
ΛΥΣΗ: Αν τώρα η ηλικία της Ελένης είναι χ έτη τότε η ηλικία της Μαρίας θα είναι χ+3 έτη. Ύστερα από 10 έτη η ηλικία της Ελένης θα είναι χ+10 έτη και της Μαρίας χ+3+10=χ+13 έτη και τότε θα έχουμε την εξίσωση: 2(χ+13)^2 + 3(χ+10)^2 = 1667 την οποία λύνουμε ως εξής: 2(χ^2 + 26χ + 169) + 3(χ^2 + 20χ + 100) = 1667 ή 2χ^2 + 52χ + 338 + 3χ^2 + 60χ + 300=1667 ή 5χ^2 +112χ + 638 -1667 = 0 ή 5χ^2 +112χ – 1029 = 0 Είναι α=5, β=112 και γ= - 1029 Δ=β^2 – 4αγ=112^2 – 4.5.(-1029)= =12544+20580=33124>0 άρα και χωρίζοντας τις ρίζες βρίσκουμε χ=70/10=7 ή χ= -294/10=-29,4<0 που απορρίπτεται γιατί δεν έχουμε αρνητικές ηλικίες, άρα δεκτή η χ=7. Επομένως τώρα η Ελένη είναι 7 ετών και η Μαρία είναι χ+3=7+3=10 ετών. Ύστερα από 20 έτη η Μαρία θα είναι 30 ετών και η Ελένη 27 ετών.	If now Helen is x years old Mary is x+3 years old. After 10 years Helen will be x+10 years old and Mary will be x+3+10=x+13 years old and we have the equation: 2(x+13)^2+3(x+10)^2=1667 which we solve in this way: 2(x^2+26x+169)+3(x^2+20x+100)=1667 2x^2+52x+338+3x^2+60x+300 -1667=0 5x^2+112x –1029=0 It is a=5, b=112 and c=-1029 D=b^2-4ac=112^2-4*5(-1029)= 12544+20580=33124>0 So Separating the radicals we find x=70/10=7 or x=-294/10=-29,4 which is unacceptable because there aren’t negative ages, so acceptable is the radical x=7. Consequently Helen is 7 years old now and Mary is x+3=7+3=10 years old. After 20 years Mary will be 30 years old and Helen will be 27 years old.

Το Γυμνάσιό μας όπως είναι σήμερα. ( Γυμνάσιο Φιλιατρών Μεσσηνίας ) φωτογραφημένο με ψηφιακή camera στις 14-12-2003.
Το «ρολόι» στην πλατεία μας ( Φιλιατρά Μεσσηνίας )
	Ο μαθητής Ηλίας Τσαφαράς που βοήθησε στην λύση των προβλημάτων.		Ο μαθητής Θανάσης Καναλουπίτης που βοήθησε στην λύση των προβλημάτων.
Ο κ. Γιαννακόπουλος Σταμάτης, καθηγητής μας των Μαθηματικών, ο οποίος μας έδωσε να λύσουμε τα τρία προβλήματα στα Ελληνικά και Αγγλικά.